Die vollständige Singulärwertzerlegung neu berechnen
Die SVD zerlegt eine Matrix in Richtungen und Gewichtungen. NOWE-SVD organisiert die Bestimmung dieser Größen in aufeinanderfolgenden Schritten mit kleiner werdender Restaufgabe.
1 Die mathematische Aufgabe
Für eine beliebige Matrix A ∈ ℂm×n – quadratisch oder rechteckig – gilt die vollständige SVD A = UΣVH. Dabei sind U und V unitäre Matrizen, Σ enthält die nichtnegativen Singulärwerte und VH bezeichnet die konjugiert transponierte Matrix. Für reelle Matrizen wird daraus A = UΣVT. Die vollständige Zerlegung umfasst alle Singulärwerte und vollständige Basen linker und rechter Singulärvektoren; bei mehrfachen oder verschwindenden Singulärwerten sind die Basen nicht eindeutig. LAPACK erläutert diese Standardform.
In der mathematischen Beschreibung liefert NOWE-SVD bei vollständiger Ausführung diese exakte Zerlegung auch für beliebige komplexe Matrizen. Eine Softwareimplementierung mit endlicher Zahlendarstellung liefert numerische Ergebnisse innerhalb ihrer jeweiligen Genauigkeit. Die Aussage „exakt“ beschreibt den mathematischen Lösungsweg, keine unendliche Maschinenpräzision.
2 Der Pyramiden-Effekt
Der Ansatz trennt bereits bestimmte Singulärwerte und Vektoren von der verbleibenden Aufgabe. Nach jedem Schritt wird nur die Restaufgabe weitergeführt; die zuvor ermittelten Beiträge gehen nicht verloren. Im vereinfachten Schichtenmodell des Whitepapers sinkt der dargestellte Gesamtaufwand von 125 auf 55 Einheiten. Das Modell belegt für sich allein keine allgemeine prozentuale Laufzeit- oder Stromersparnis.
Konstante Modellaufgabe
Schrumpfende Restaufgabe
3 Vollständiger Lauf und optionaler Ausstieg
Im vollständigen Lauf werden sämtliche Singulärwerte und die zugehörigen linken und rechten Vektoren ermittelt. Benötigt ein konkretes Verfahren nur die k führenden Beiträge, kann ein früher Ausstieg vorgesehen werden, sobald diese mathematisch bestimmt sind und der nicht berechnete Rest über eine nachweisbare Schranke kontrolliert wird. Das Ergebnis für die ganze Matrix ist dann bewusst eine reduzierte Darstellung; die berechneten Beiträge werden dadurch nicht zu bloßen Näherungen.
4 Mathematischer Korrektheitsbeweis
Die noch nicht veröffentlichte Patentschrift enthält einen mathematischen Korrektheitsbeweis für beliebige komplexe Matrizen. Er begründet den vollständigen Rechenweg und die Erhaltung der bereits bestimmten Singulärbeiträge über die schrittweise Verkleinerung der Restaufgabe. Die Herleitung, der etwa eineinhalbseitige Pseudocode und die Details des Beweises werden auf dieser Website nicht offengelegt; weiterführende Unterlagen können nach einer Vertraulichkeitsvereinbarung besprochen werden.
5 Klassische und Quantenhardware
Der Pseudocode sieht die Ausführung geeigneter Aufgaben auf einem Quantencomputer vor. Welche Teilaufgaben auf einem Quanten-Annealer oder einer anderen Quantenarchitektur realisiert werden können, hängt von deren technischer Umsetzung ab. In einem hybriden Ablauf erledigen klassische Systeme Vor- und Nachverarbeitung sowie weitere Rechenschritte. Laufzeit, Übertragung, Speicher, Kühlung und Ergebnisgenauigkeit müssen für den gesamten Ablauf bewertet werden.
6 Einordnung gegenüber D1
Die im deutschen Prüfungsverfahren herangezogene Druckschrift D1 behandelt robuste Hauptkomponentenanalyse auf einem Quanten-Annealer. NOWE-SVD setzt beim mathematischen Lösungsweg der vollständigen SVD an. Eine direkte Gleichsetzung der dort gemessenen Beschleunigungen mit einem Vorteil von NOWE-SVD wäre nicht sachgerecht. D1 im Original lesen.